Σερ Άισακ Νεύτων: Ο άνθρωπος που αποκωδικοποίησε τη Φυσική του Σύμπαντος
Ο Άισακ Νεύτων (1643–1727) γεννήθηκε στο Λινκολνσάιρ
της Αγγλίας. Ήταν ένα πρόωρο, ορφανό από πατέρα παιδί, που λίγο έλειψε να γίνει
αγρότης αν δεν είχε μεσολαβήσει ένας θείος του για να τον στείλει στο
Πανεπιστήμιο του Κέμπριτζ.
Όταν το 1665 ξέσπασε η Μεγάλη Πανώλη στο Λονδίνο και το
πανεπιστήμιο έκλεισε, ο 23χρονος Νεύτων απομονώθηκε στο πατρικό του σπίτι. Σε
αυτά τα δύο χρόνια αναγκαστικής καραντίνας —σε μια περίοδο που ονομάστηκε «το
έτος των θαυμάτων» (Annus Mirabilis)— ο Νεύτων θεμελίωσε τη Θεωρία της
Βαρύτητας, την Οπτική και, φυσικά, τον Διαφορικό και Ολοκληρωτικό Λογισμό.
Ο Νεύτωνας θεωρείται ένα από τα σπουδαιότερα μυαλά στην
ιστορία της επιστήμης, αν και ο ίδιος (παρότι δεν είμαστε σίγουροι ότι το
εννοούσε πάντα με ειλικρίνεια) έλεγε για τον εαυτό του:
«Δεν ξέρω πώς φαίνομαι στον κόσμο, αλλά στα δικά μου
μάτια φαίνομαι μόνο σαν ένα μικρό παιδί που παίζει στην ακρογιαλιά, και
διασκεδάζει βρίσκοντας πού και πού ένα πιο λείο βότσαλο ή ένα πιο όμορφο
κοχύλι, ενώ ο απέραντος ωκεανός της αλήθειας απλώνεται ανεξερεύνητος μπροστά
μου.»
Καθώς επίσης, σε μια επιστολή του το 1675 προς τον μεγάλο
του αντίζηλο Ρόμπερτ Χουκ —έναν επιστήμονα με τον οποίο είχε σφοδρή
διαμάχη και ο οποίος έτυχε να είναι πολύ κοντός στο ανάστημα— έγραψε τη διάσημη
φράση:
«Αν είδα μακρύτερα, είναι επειδή στήριξα τα πόδια μου
στους ώμους γιγάντων.»
(Πολλοί ιστορικοί πιστεύουν ότι πίσω από την υποτιθέμενη
ταπεινοφροσύνη της φράσης, κρυβόταν μια ειρωνική μπηχτή του Νεύτωνα για το
ανάστημα του αντιπάλου του!).
Η πρώτη σκέψη του Νεύτωνα: Η κίνηση δεν είναι στατική
Ο Νεύτωνας προσπάθησε να περιγράψει τη Φυσική του
σύμπαντος: την τροχιά της Σελήνης, την πτώση των σωμάτων, την ταχύτητα των
πλανητών.
Σκεφτείτε το εξής: Κάποιος διάνυσε με ένα αυτοκίνητο 100
χιλιόμετρα σε 2 ώρες. Γνωρίζουμε ότι η μέση ταχύτητά του ήταν 50 χιλιόμετρα την
ώρα. Αλλά εκείνο που δεν γνωρίζουμε είναι τι έδειχνε το κοντέρ του σε κάποια
συγκεκριμένη χρονική στιγμή, για παράδειγμα στη 1 ώρα και 10 λεπτά.
Η μέση ταχύτητα υπολογίζεται εύκολα. Αλλά η στιγμιαία
ταχύτητα —η ταχύτητα σε ένα «παγωμένο» κλάσμα του δευτερολέπτου— ήταν ένα
μυστήριο για τους επιστήμονες. Όχι όμως και για το λαμπρό μυαλό του νεαρού
Νεύτωνα.
Αν υποθέσουμε ότι ένα σώμα κινήθηκε για 4 λεπτά, πώς
μπορούμε να βρούμε την ταχύτητά του ακριβώς τη χρονική στιγμή των 3 λεπτών;
- Αν
μετρήσουμε τη διανυθείσα απόσταση ανάμεσα στο 3ο και στο 4ο λεπτό,
μπορούμε εύκολα να υπολογίσουμε τη μέση ταχύτητα για αυτό το ένα λεπτό.
Όμως, σε αυτό το διάστημα το σώμα μπορεί να επιτάχυνε ή να επιβράδυνε.
- Αν
μικρύνουμε το χρονικό διάστημα και υπολογίσουμε τη μέση ταχύτητα από το 3ο
έως το 3,5 λεπτό, ή ακόμα λιγότερο από το 3ο έως το 3,1 λεπτό,
η μέση ταχύτητα που βρήκαμε, προσεγγίζει περισσότερο την πραγματική
ταχύτητα που είχε το σώμα τη στιγμή
. - Αν
συρρικνώσουμε τη διαφορά χρόνου σε κάτι απειροελάχιστο —για παράδειγμα,
από το 3ο έως το 3,00001 λεπτό— η μέση ταχύτητα προσεγγίζει τη
στιγμιαία ταχύτητα τόσο πολύ, που ουσιαστικά ταυτίζεται μαζί της!
Ο Νεύτωνας εξέτασε τι συμβαίνει όταν αυτή η διαφορά χρόνου
γίνει «απειροελάχιστα μικρή» (αυτό που σήμερα στα μαθηματικά ονομάζουμε «όριο»).
Εισήγαγε λοιπόν τη «Μέθοδο των Ροών» (Method of Fluxions):
αντιμετώπισε τις ποσότητες ως μεγέθη που «ρέουν» συνεχώς στο χρόνο και απέδειξε
ότι η στιγμιαία ταχύτητα δεν είναι τίποτα άλλο παρά η μέση ταχύτητα μεταξύ δύο
χρονικών στιγμών που διαφέρουν απειροελάχιστα μεταξύ τους, δηλαδή ο στιγμιαίος
ρυθμός μεταβολής της θέσης ως προς τον χρόνο — η πρώτη ιστορική σύλληψη της παραγώγου.
Γκότφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς: Ίσως ο τελευταίος
«Οικουμενικός Άνθρωπος»
Ο Γκότφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς (1646–1716) γεννήθηκε στη
Λειψία της Γερμανίας. Ήταν ένα παιδί-θαύμα με αστείρευτη περιέργεια: σε ηλικία
μόλις 12 ετών έμαθε μόνος του λατινικά και ελληνικά, διαβάζοντας τα βιβλία στη
βιβλιοθήκη του μακαρίτη πατέρα του. Στα 20 του είχε ολοκληρώσει τις σπουδές του
στη Νομική, αλλά το πανεπιστήμιο αρνήθηκε να του δώσει το διδακτορικό του
επειδή θεωρήθηκε… πολύ νέος! Το πήρε αμέσως από άλλο πανεπιστήμιο, αλλά
αρνήθηκε μια ακαδημαϊκή καριέρα, προτιμώντας την ελευθερία του πνεύματος.
Ο Λάιμπνιτς υπήρξε ίσως ο τελευταίος «Πολυμαθής» (Universal
Genius) της ιστορίας. Δεν ήταν μόνο μαθηματικός. Ήταν:
- Φιλόσοφος:
Διατύπωσε την περίφημη θεωρία των «Μονάδων» και τη φιλοσοφική ιδέα
ότι ζούμε «στον καλύτερο από τους δυνατούς κόσμους».
- Πρωτοπόρος
της Πληροφορικής: Σχεδίασε τον πρώτο μηχανικό υπολογιστή που μπορούσε να
κάνει και τις τέσσερις πράξεις, ενώ εφηύρε το Δυαδικό Σύστημα (με τα 0 και 1), τη βάση πάνω στην
οποία λειτουργούν οι σημερινοί υπολογιστές!
- Διπλωμάτης
& Ειρηνοποιός: Εργάστηκε σε αυλές ευγενών, ταξίδεψε σε όλη την Ευρώπη
και προσπάθησε απεγνωσμένα να γεφυρώσει το χάσμα μεταξύ Καθολικών και
Προτεσταντών.
Η Γεωμετρική Μαγεία του Απείρου
Ενώ ο Νεύτωνας προσέγγισε το πρόβλημα μέσα από τη Φυσική και
την κίνηση, στην απέναντι πλευρά της Μάγχης ο Γκότφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς
έφτανε στο ίδιο ακριβώς συμπέρασμα μέσα από τη Γεωμετρία.
Φανταστείτε δύο σημεία, το Α και το Β, πάνω σε
μια καμπύλη γραμμή. Αν τα ενώσουμε με ένα ευθύγραμμο τμήμα, σχηματίζεται ένα
τόξο με χορδή το τμήμα ΑΒ.
- Αν
τώρα μετακινήσουμε το σημείο Β και το φέρουμε πιο κοντά στο Α, το τόξο
μικραίνει.
- Αν
το φέρουμε ακόμα πιο κοντά, το τόξο συρρικνώνεται κι άλλο.
- Όσο
πλησιάζουμε τα δύο σημεία μεταξύ τους, το καμπύλο τόξο αρχίζει να
ευθυγραμμίζεται. Αν συνεχίσουμε έτσι μέχρι τα δύο σημεία να απέχουν πλέον
μια απειροελάχιστη απόσταση, το τόξο θα είναι πλέον δυσδιάκριτο και θα βλέπουμε
μόνο τη χορδή!
Όσο πιο κοντά είναι τα σημεία, τόσο πιο πολύ το τόξο μοιάζει
με ευθύγραμμο τμήμα.
Ο Λάιμπνιτς βασίστηκε σε αυτή ακριβώς την παρατήρηση για να
διατυπώσει την ιδέα του: Μια καμπύλη γραμμή δεν είναι τίποτα άλλο παρά ένα
πολύγωνο με άπειρες, απειροελάχιστα μικρές ευθύγραμμες πλευρές.
Είδαν μακρύτερα πάνω στους ώμους των Γιγάντων...
Τη συγκεκριμένη τεχνική της προσπάθειας να προσεγγίσουμε μία
καμπύλη με ευθύγραμμα τμήματα, την χρησιμοποιούσε και ο Αρχιμήδης. Όμως, η
διαφορά είναι ότι ο Αρχιμήδης περιόριζε την καμπύλη ανάμεσα σε ευθύγραμμα
τμήματα και έπαιρνε ως αποτέλεσμα μία ικανοποιητική προσέγγιση, αλλά δεν έβλεπε
την ίδια την καμπύλη ως άπειρα ευθύγραμμα τμήματα. Το εμπόδιο που έπρεπε να
υπερπηδήσει ήταν η χρήση του απείρου, που στην αρχαιότητα ήταν ο φόβος και ο
τρόμος των μαθηματικών. Αυτό όμως είχε ως αποτέλεσμα, κοπιαστικούς και
χρονοβόρους υπολογισμούς για κάθε διαφορετικού είδους καμπύλη.
Αντιθέτως ο Λάιμπνιτζ για να υπολογίσει το εμβαδόν κάτω από
μια καμπύλη, δεν χρειαζόταν να εφευρίσκει περίπλοκα γεωμετρικά τεχνάσματα.
Έκοβε την περιοχή σε άπειρα, απειροελάχιστα λεπτά ορθογώνια παραλληλόγραμμα και
απλώς πρόσθετε τα εμβαδά τους.
Η μεγάλη κοινή ανακάλυψη
Και οι δύο άνδρες, ακολουθώντας αυτούς τους παράλληλους και
ανεξάρτητους δρόμους, συνειδητοποίησαν το ίδιο μεγάλο μυστικό: αυτό που είχαν
ανακαλύψει, ο υπολογισμός του ρυθμού μεταβολής ενός μεγέθους (παράγωγος)
και ο υπολογισμός ενός εμβαδού που περικλείεται από μία καμπύλη (ολοκλήρωμα)
ήταν πράξεις αντίστροφες, όπως ακριβώς η πρόσθεση με την αφαίρεση!
Αυτό ήταν το Θεμελιώδες Θεώρημα του Απειροστικού Λογισμού.
Ο Αρχιμήδης χρειαζόταν εβδομάδες επίπονων υπολογισμών για κάθε νέο σχήμα. Τώρα,
με μία μόνο γενική μέθοδο, ο Νεύτων και ο Λάιμπνιτς μπορούσαν να λύσουν
οποιοδήποτε πρόβλημα κίνησης ή εμβαδού μέσα σε λίγα λεπτά.
Το έργο αυτό των δύο πολύ σπουδαίων επιστημόνων ήταν τόσο
επαναστατικό, που έμελλε να αλλάξει για πάντα τον τρόπο που βλέπουμε τον κόσμο
και να προχωρήσει την επιστήμη με τόσο γρήγορα βήματα, όσο ποτέ άλλοτε.
Η Δραματική Διαμάχη για την Πατρότητα
Δυστυχώς, αυτή η παράλληλη μαγεία της νόησης είχε μια
σκοτεινή, ανθρώπινη κατάληξη.
Ο Νεύτων είχε ανακαλύψει τη μέθοδό του νωρίτερα (δεκαετία
του 1660), αλλά λόγω της τελειομανίας του δεν δημοσίευσε τα ευρήματά του
αμέσως. Ο Λάιμπνιτς ανακάλυψε τη δική του μέθοδο ανεξάρτητα λίγο αργότερα
(δεκαετία του 1670), αλλά τη δημοσίευσε πρώτος το 1684.
Όταν ο Νεύτων συνειδητοποίησε τι είχε συμβεί, ξέσπασε μια
από τις πιο άγριες διαμάχες στην ιστορία της επιστήμης. Ο Νεύτων κατηγόρησε τον
Λάιμπνιτς για λογοκλοπή, ενώ η Βασιλική Εταιρεία του Λονδίνου (της οποίας
πρόεδρος ήταν ο ίδιος ο Νεύτων!) έβγαλε «πόρισμα» υπέρ του Νεύτωνα.
Αυτός ο τυφλός ανταγωνισμός είχε ένα βαρύ τίμημα: για σχεδόν
έναν αιώνα, οι Βρετανοί επιστήμονες αρνούνταν να χρησιμοποιήσουν την πολύ πιο
ευέλικτη και κομψή συμβολική γλώσσα του Λάιμπνιτς, εμμένοντας στη δύσχρηστη
σημειογραφία του Νεύτωνα. Ως αποτέλεσμα, η Αγγλία έμεινε σημαντικά πίσω στις
μαθηματικές και φυσικές επιστήμες σε σχέση με την υπόλοιπη Ευρώπη για ολόκληρες
γενιές!
Η αλλαγή ήρθε τελικά στις αρχές του 19ου αιώνα από την ίδια
τη νέα γενιά: μια ομάδα νεαρών φοιτητών στο Πανεπιστήμιο του Κέμπριτζ —ανάμεσά
τους και ο Charles Babbage, ο άνθρωπος που σχεδίασε τον πρώτο μηχανικό
υπολογιστή— επαναστάτησε ενάντια στο καθεστώς! Ίδρυσαν μια μυστική ακαδημαϊκή
ομάδα με στόχο να φέρουν τη γλώσσα του Λάιμπνιτς στη Βρετανία, λέγοντας
χαριτολογώντας ότι έπρεπε να υπερασπιστούν «τις αρχές του d-ισμού του
Λάιμπνιτς απέναντι στην απολιθωμένη dot-αρεία του Νεύτωνα». Χάρη σε αυτή
την «επαναστατική» πρωτοβουλία των φοιτητών, η Βρετανία υιοθέτησε επιτέλους τα
σύγχρονα μαθηματικά!
Η σφοδρή αυτή διαμάχη είχε δυστυχώς και ένα ακόμη τίμημα,
αυτή τη φορά ανθρώπινο. Παρά την τεράστια συνεισφορά του στην επιστήμη, τα
τελευταία χρόνια του Λάιμπνιτς επισκιάστηκαν από την μάχη για την αποκατάσταση της
αλήθειας. Όταν ο εργοδότης του, ο Δούκας του Ανόβερου, μετακόμισε στο Λονδίνο
για να στεφθεί Βασιλιάς της Αγγλίας (ως Γεώργιος Α΄), απαγόρευσε στον Λάιμπνιτς να τον
ακολουθήσει στην αυλή του και τον διέταξε να μείνει πίσω στο Ανόβερο,
παρότι ο Λάιμπνιτς ήθελε απεγνωσμένα να τον ακολουθήσει στην Αγγλία, για να
υπερασπιστεί τον εαυτό του στη διαμάχη με τον Νεύτωνα.
Ο Λάιμπνιτς πέθανε μόνος, φτωχός και πικραμένος. Στη κηδεία
του δεν παρευρέθηκε κανένας από τους ευγενείς ή τα μέλη της Βασιλικής Εταιρείας
— παρά μόνο ο προσωπικός του γραμματέας.
Όπως έγραψε αργότερα ο Γάλλος φιλόσοφος Ντενί Ντιτερό:
«Όταν κάποιος συγκρίνει τα δικά του ταλέντα με αυτά του
Λάιμπνιτς, καταλαμβάνεται από τον πειρασμό να πετάξει τα βιβλία του και να πάει
να πεθάνει ήσυχα σε μια γωνιά.»
Σήμερα, η ιστορική δικαιοσύνη έχει αποκατασταθεί πλήρως:
αναγνωρίζουμε και τους δύο ως ισότιμους συν-δημιουργούς του Απειροστικού
Λογισμού.
