Πόσο είναι το εμβαδόν τελικά .... την τρέλα μου; (Παράδοξο)

Πόσο είναι το εμβαδόν τελικά .... την τρέλα μου;

Το παρακάτω πρόβλημα μπορεί να εφαρμοστεί στην τάξη είτε ανεξάρτητα από την τρέχουσα διδασκόμενη ύλη, είτε, ακόμα καλύτερα, όταν διδάσκουμε εμβαδά στη Β΄ Γυμνασίου και στη Β΄ Λυκείου. Όταν μάλιστα μία δραστηριότητα λειτουργεί όπως τα μαγικά κόλπα ενός ταχυδακτυλουργού, τότε επιτυγχάνει απολύτως τον στόχο της, την ενεργοποίηση των μαθητών. Η συγκεκριμένη έχει αυτό το χαρακτηριστικό, μιας και άλλο περιμένεις να δεις και άλλο βλέπεις! Δεν πιστεύεις στα μάτια σου ... Μαγεία!

Δίνουμε σε κάθε μαθητή τη φωτογραφία που ακολουθεί:

Τους λέμε να υπολογίσουν το εμβαδόν κάθε χρωματιστού πολυγώνου και να προσθέσουν τα τέσσερα εμβαδά ώστε να βρουν το συνολικό εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ. 

Βρίσκουν (ΑΚΔ)=12 τ.μ, (ΓΔΕ)=5 τ.μ, (ΔΕΖΗΘΙ)=7 τ.μ και τέλος (ΖΗΘΙΚΒ)=8 τ.μ.

Συνολικά, το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ είναι:

(ΑΒΓ)=(ΑΚΔ)+ (ΓΔΕ)+(ΔΕΖΗΘΙ)+(ΖΗΘΙΚΒ)=12+5+7+8=32 τ.μ.

Αν όμως υπολογίσουμε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ με τον τύπο που δίνει το εμβαδόν του ορθογωνίου τριγώνου βρίσκουμε (13x5):2=32,5 τ.μ.
Πώς γίνεται αυτό;

Για να ενταθεί η έκπληξη μπορούμε να δώσουμε και την παρακάτω φωτογραφία, η οποία έχει δημιουργηθεί από τα ίδια τέσσερα χρωματιστά σχήματα του προηγούμενου προβλήματος και ένα επιπλέον λευκό τετράγωνο:

Αυτή τη φορά, το εμβαδόν που προκύπτει από το άθροισμα των τεσσάρων χρωματιστών σχημάτων συν το εμβαδόν του λευκού τετραγώνου ισούται με 33 τ.μ ενώ αν χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για να υπολογίσουμε το εμβαδόν του τριγώνου ΛΞΧ, που προκύπτει από τη σύνθεση των πέντε σχημάτων, ενώ θα περιμέναμε να βρούμε ότι βρήκαμε την προηγούμενη φορά συν 1 (αφού προστέθηκε ένα τετράγωνο), δηλαδή 32,5+1=33,5 τ.μ, βρίσκουμε και πάλι (13x5):2=32,5 τ.μ.

Πόσο είναι το εμβαδόν τελικά .... την τρέλα μου; 32, 32,5 ή 33;

Πριν τους πείτε την απάντηση, βάλτε τους μισούς μαθητές να κόψουν το σχήμα της πρώτης  φωτογραφίας και τους υπόλοιπους της δεύτερης φωτογραφίας και να κατασκευάσουν οι πρώτοι το δεύτερο σχήμα και οι δεύτεροι το πρώτο σχήμα. Ίσως έτσι βρουν την απάντηση!

Η απάντηση εδώ:https://en.wikipedia.org/wiki/Missing_square_puzzle
ή εδώ http://ludusmentis.blogspot.com/2012/03/blog-post.html